Lördagsnötter, med vänlig hälsning från Lennart Bengtsson

nuts
Ja, så här kan de se ut i knäckt form – men nedan följer några oknäckta. Och vi tackar Lennart och Svenolof för dagens DI Agenda-artikel, som också inger visst hopp att den svenska debatten och MSM’s “information” ska ta en mer saklig vändning.
Problem 1 (normal svårlghetsgrad): Två bröder sålde ett antal får som de ägde. För varje får fick de så många rubel som antalet får i fårhjorden. Pengarna delades upp på så sätt att först fick de äldre brodern tio rubel, varefter den yngre brodern fick tio rubel varefter den äldre brodern fick tio rubel osv. Vid slutet av uppdelningen fann den yngre brodern som stod i tur att få att det som var kvar var mindre än tio rubel så han tog vad som fanns kvar. För att garantera att uppdelningen var helt rättvis gav den äldre brodern den yngre sin fickkniv. Hur mycket var fickkniven värd?
Problem 2 ngt  (svårare kanske) : Visa att n**11 – n är delbart med 11 för alla n>1.
Problem 3 ( något trickigt): Är det vanligare att nyårsdagen inträffar på en söndag än på en lördag?
 

Kommentarer

Kommentera längst ner på sidan.

  1. Thomas P

    Andra problemet är enkelt med induktionsbevis. Test visar att det gäller för n=2. För n+1 gäller:
    (n+1)^11-(n+1)=n^11+11*n+1 -n-1 = (n^11-n) + 11*n
    Första halvan är delbar med 11 enligt induktionsprincipen och andra halvan är det trivialt.

  2. Utdrag ur Svenolof Karlssons intervju av Lennart Bengtsson:
    ”Den obetydliga uppvärmning vi hittills haft är harmlös, men helt klart kan problem mot senare hälften av detta sekel inte uteslutas, och det är nödvändigt att världen utvecklar mer effektiva metoder att producera och använda energi.”
    ”Emellertid, hur man än ser på saken så har 25 års klimatpolitik hittills varit ett magnifikt misslyckande. Växthusgaserna har fortsatt att öka i allt snabbare takt trots kolossalt kostsamma satsningar.”
    ”I stället för att satsa krafterna på långsiktiga hållbara insatser på ett brett forskningsprogram, så har resurserna plottrats bort på politiskt ytliga åtgärder. Till exempel gigantiska satsningar på vindkraft som knappast kommer att bidra nämnvärt till att minska koldioxidutsläppen, snarare motsatsen, eftersom baskraft inte kan undvaras.”
    Jag håller med, det är så jag också uppfattar det hela. Jag har också en känsla av att en liknande inställning är vanlig bland klimatforskarna.

  3. HansH

    Jag känner mig lite kluven inför DI artikeln…”klimatpolitik” och “klimatarbete” …jag kan se att vi behöver vanlig forskning…men nåt “klimatarbete” ? Vad fan är det ? ..och “klimatpolitik” ? Det har varit för mycket…på tok för mycket av den varan sen 25 år.

  4. Johan M

    En fickkniv kan inte vara värd så mycket – fyra rubel är budet.

  5. Johan M

    … och för nyårsdagen vill jag bara slå ett slag för World Calendar där nyårsdagen inte har någon dag alls men 1:a januari alltid är en söndag.
    http://www.theworldcalendar.org/

  6. lennart bengtsson

    Hej
    *1
    Jag hoppas att klimatforskarna delar denna uppfattning. Många är ju dessvärre under grupptryck eller tryck från överordnade i samband med anslag mm så de föredrar nog i dagens upphetsade läge att hålla en låg profil. Sedan är det alltid svårt att på ett kort utrymme få ngt väsentligt sagt som de flesta begriper. Men Svenolof är en duktig och ärlig journalist och har lyckats bra. Jag har just givit ett längre bidrag på tyska till en schweizisk tidning med det kommer först om en dryg vecka. Det blir betydligt mer utförligt men är kanske i gengäld litet mer svårläst.
    Det är alltid besvärligt att presentera en uppfattning som avviker från en etablerad uppfattning då man automatiskt hamnar i ett underläge och lätt kan utsättas för massornas fördömande inte minst i en så likformig kultur som den svenska där en etablerad uppfattning delas av praktiskt taget alla. Detta har inget med vetenskap eller sanning att göra utan är ett kulturproblem. Att föra fram en avvikande uppfattning är dock en risk som måste tas om man vill behålla sin självrespekt som individ. “Science is never settled” i synnerhet gäller detta klimatvetenskapen. Att verkligheten säger något annat än dagens klimatpolitik torde vara uppenbart för de flesta men det är lika svårt som att stoppa en tung lastbil i en brant backe där bromsarna har pajat.
    LennartB

  7. lennart bengtsson

    Hej
    Svaret var till 2

  8. Håkan Bergman

    Johan M #4
    Jag sänker till 2 rubel.

  9. lennart bengtsson

    *1
    Induktion kan användas men man kan också dela upp det i faktorer och skriva
    n**11 – n = n(n+1)(n-1)(n**8 + n**6 + n**4 +n**2 +1)
    LennartB

  10. lennart bengtsson

    *8
    Håkan Bergman får godkänt
    Lennart

  11. Lasse

    Nötterna passar jag på såhär på lördagskvällen.
    Men jag antar att fickkniven är värd i snitt 0-10 dvs fem och att nyårsdagen alltid är en helgdag men med olika veckodagar med samma sannolikhet.
    Lennart B (och Sven Olof Karlsson) visar på sans och vett i klimatdebatten. 0,8 grader sen 1880 eller 0,6 grader sen 1986. Det senare valde IPCC att föra fram! Vad säger det?
    Det öppnar för viss kritik för alarmism! Men även för att nyktert konstatera att även 1900 talets början gav en höjning med 0,6 grader. Då Var CO2 lägre! Vad ni kunde framhålla är väl att effekten av CO2 är logaritmisk-dvs en ökning från 200-400 ger samma effekt som en ökning från 400-800 eller hur?

  12. Johan M

    # 8 och du har naturligtvis rätt 🙂

  13. Argus

    Får.
    Känner mig mer som en fårskalle….
    Låt oss säga att de säljer ett får och får 1 rubel……
    Om det ska bli rättvist bör då fickkniven vara värd ½ rubel…..

  14. Lars Cornell

    Svenolof Karlsson har gjort en utmärkt intervju.
    På di kan den vara svår att nå, här finns ett utdrag
    http://antropocene.se/2014/april/vem-skall-man-lita-pa-i-klimatdebatten.html
    med flera bra kommentarer.
    Den förra intervjun är lika bra och fortfarande aktuell.
    http://www.tjust.com/2013/lb-katt.pdf
    Glöm inte heller bort
    http://www.falskt-alarm.se/wp-content/uploads/2013/04/FalsktAlarm.pdf

  15. lennart bengtsson

    *11
    Lasse
    Tyvärr är artiklar i tidningspressen begränsade på grund av utrymme. Men ibland hjälper det ändå inte vad man skriver, några dagar senare har folk glömt och är tillbaka i hjärntvättskarusellen och alla slag av sociala grupptryck och rättar steget i marchkolonnen där bara en uppfattning skall råda.
    Men vetenskap kan bara arbeta på ett sätt. Man formulerar hypoteser och testa sedan dessa mot verkligheten. Stämmer hypotesen efter upprepade experiment genomförda av ett antal olika forskare är allt OK. På detta sätt har man testat att bla CO2 absorberar värmestrålning. Men vi har ingen möjlighet att testa dagens klimatexperiment då vi ännu inte har kommit fram till 2100. Vi har testat beräkningar från 1980 till 2013 och de är som IPCC visade i september förra året väsentligt högre än dagens observationer. Detta är ett faktum.
    Emellertid vi vet inte vad som kan hända fram till 2100. Vad IPCC har gjort är inget annat än en expertbedömning efter bästa förmåga. Det finns en politisk önskan att folk skall skrämmas annars är politikerna oroliga att folk inte kommer att reducera sin användning av fossil energi och de kan inte politiskt genomföra de restriktioner som de tror är nödvändiga. I vissa länder vill man också upphöra med kärnkraft och vill få med detta i samma svep. Detta är fina fisken för bl MP som helst vill se en återgång till ett slags förindustriellt samhälle. Många har under tiden insett att denna omständighet kan förvandlas till en lönande affär och gör därför allt för att folk skall fortsätta skrämmas osv.

  16. pekke

    Lennart B. #15
    En artikel i en finanstidning är i bland många gånger bättre än vanliga tidningar eftersom man får anta att de som läser dem har hand om diverse finanser och har därmed en ekonomisk makt.

  17. Lennart Bengtsson
    Jag tyckte att artikeln var lysande och ett ljus i PK-mörkret,
    Tack både till dig och Sven Olof!

  18. Magnus Olert

    Vad gör jag för fel? Jag får likt Johan M att fickkniven är värd fyra rubel.
    n^2=p där n är antalet får och p är totala priset.
    p=10*a+r där a är antalet gånger någon tar ut potten, a är udda eftersom det slutar med att yngre brodern får resten. r är resten på slutet. r är ett heltal 1 till 9.
    f=10-r där f är fickknivens värde.
    Vi får:
    r=n^2-10a
    n=1,2,3 ger att a r=16-10a => a=1 => r=6 => f=4
    n=5 => r=25-10a => a=2 ej udda!
    n=6 => r=36-10a => a=3 => r=6 => f=4
    n=7 till 13 ger alla att a ej är udda. Sedan orkade jag inte prova mer.

  19. Magnus Olert

    Det försvann text när jag skickade. Så här ska det vara:
    Vad gör jag för fel? Jag får likt Johan M att fickkniven är värd fyra rubel.
    n^2=p där n är antalet får och p är totala priset.
    p=10*a+r där a är antalet gånger någon tar ut potten, a är udda eftersom det slutar med att yngre brodern får resten. r är resten på slutet. r är ett heltal 1 till 9.
    f=10-r där f är fickknivens värde.
    Vi får:
    r=n^2-10a
    n=1,2,3 ger att a ej är ett heltal
    n=4 => r=16-10a => a=1 => r=6 => f=4
    n=5 => r=25-10a => a=2 ej udda!
    n=6 => r=36-10a => a=3 => r=6 => f=4
    n=7 till 13 ger alla att a ej är udda. Sedan orkade jag inte prova mer.

  20. Thomas P

    Magnus #18 “f=10-r där f är fickknivens värde.”
    Du missar att ena brodern förlorar fickkniven medan andra får den vilket ger en faktor två. f=(10-r)/2 måste det därför bli.
    Lennart #9 Det är inte uppenbart för mig hur din faktorisering skulle visa att uttrycket är delbart med 11. Däremot visar de tre första faktorerna att talet är delbart med tre.

  21. Magnus Olert

    Thomas P #20
    Ja, jag kom precis på det själv!

  22. pekke

    Nöt 1: vete tusan eftersom det inte ger nån ledtråd om vilken fårhjord som räknas eller hur många de någonsin varit, den som säljs eller den som finns på gården, för övrigt bör kniven vara värd mellan 9 till 1 får/rubel, knivigt problem.
    Nöt 2: njjaaaeeee, hoppar över.
    Nöt 3: Man skulle kunna säga att Nyårsdagen alltid är en Söndag eftersom det alltid är en helgdag.
    Men chansen för att en Nyårsdag infaller på en Söndag kan ju vara större eftersom vi har skottår att räkna med.
    Knepigt alltihop.

  23. Bo Gustafsson

    Magnus Olert #19
    Om jag får 10 rubel och du får 6, hur många ska jag då ge till dig för att vi ska få lika många?
    Jo 2 rubel. Alltså är kniven värd 2 rubel.

  24. Håkan Bergman

    Är det vanligare att nyårsdagen inträffar på en söndag än på en lördag?
    Jag säger nej, jag har inte räknat.
    Cykeln för vår kalender är 400 år, den cykel vi är inne i nu började 2001-01-01 som var en måndag, 2400-01-01 är den sista nyårsdagen i cykeln som är en lördag. Jag skulle nästan kunna drista mig till att säga att det är vanligare att nyårsdagen infaller på en lördag. Men svaret på frågan blir nej.

  25. pekke

    Chansen för att Nyårsdagen faller in på en Söndag kanske är större p.g.a. att varje års sista vecka kan gå in i nästa år vilket gör att veckans sista dag har större chans att infalla på en Nyårsdag än andra veckodagar, men det bör ju jämna ut sig med tiden !?
    Åååhhh, brain damage !!!

  26. Induktionsbevis för problem 2 (Thomas gjorde det för enkelt för sig):
    Antag att n^11-n är delbart med 11.
    Bevisa att (1+n)^11-(n+1) är delbart med 11.
    Enllig binomialsatsen får vi:
    http://sv.wikipedia.org/wiki/Binomialsatsen
    (1+n)^11=1+ 11*n+55*n^2+165*n^3+330*n^4+462*n^5+462*n^6+330*n^7+165*n^8+55*n^9
    +11*n^10+n^11
    Koefficienterna kan beräknas men man finner dem enklast från Pascals triangel:
    http://ptri1.tripod.com/ptreal1r.gif
    Därur får vi:
    (1+n)^11-(n+1)=11*n+55*n^2+165*n^3+330*n^4+462*n^5+462*n^6+330*n^7+165*n^8+55*n^9
    +11*n^10+(n^11-n)
    I högra ledet är n^11-n delbart med 11 enligt vårt induktionsantagande. Alla övriga termer är också delbara med 11 vilket framgår av följande produkter:
    55=5*11
    165=15*11
    330=30*11
    462=42*11
    Eftersom satsen enkelt kan visas gälla för n=2, så gäller den för n=3, alltså även för n=4 etc., dvs. för alla n>1.
    VSB

  27. lennart bengtsson

    Den tredje nöten är ngt knepig och bygger på den nuvarande kalendern. Med hänsyn tagit till skottår och det faktum att århundraden som inte är delbara med 400 inte är skottår. 1800 och 1900 var inga skottår medan däremot 2000 var skottår. ( Detta gör man för att approximera omloppet kring solen i hela dagar som är en ojämn storhet) Detta innebär att man behöver en period på 400 år för att veckorna skall gå jämnt upp. De 400 åren mellan 1901 och 2301 har tillsammans exakt 400×52 + 71 = 20871 veckor ( antalet extra dagar är 400 +100 -3 för alla åren = 497 eller 71 veckor)
    Det räcker därför att gå igenom 400 år och räkna de olika dagarna för första januari. Första Januari 1901 kan lätt beräknas och inträffade på samma dag som januari 2013 (4×28) dvs på en tisdag vilket alltså även 1 januari 2301 också kommer att göra. Går man nu igenom samtliga år i 400 år serien finner man faktiskt att nyårsdan oftare infaller på en söndag än på en lördag.
    På samma sätt kan man visa att den 30-e i varje månad oftast inträffar på en fredag! Sa det så.
    Lennart

  28. pekke

    Bo G.#23
    Men hur många djur såldes och de fick rubel för, kniven är värd nånstans mellan 1 – 9 rubel ” Vid slutet av uppdelningen fann den yngre brodern som stod i tur att få att det som var kvar var mindre än tio rubel så han tog vad som fanns kvar. ”
    Det står ingenstans hur många rubel de fick eller många djur de sålde eller hur många djur de hade innan de sålde ett okänt antal djur eller om priset räknas på de sålda djuren eller om det räknas på de djur som de har på gården ” Två bröder sålde ett antal får som de ägde. För varje får fick de så många rubel som antalet får i fårhjorden ”
    Det hela är en röra enligt mig, fast okej jag är inte teoretiker, jag vill kunna ” ta ” på problemet.

  29. lennart bengtsson

    *9
    Man gör detta genom att gradvis eliminera alla rester vid division. Dvs n(n-1)(n+1) är antingen delbart med 11 eller har 1 eller 10 som rest så är en av de tre första faktorerna delbart med 11. Genom attp på ett analogt sätt studera de övriga termerna kan man stegvis eliminera övriga restprodukter

  30. pekke

    OT
    Inga stigande temperaturer de senaste 17 år och 8 månaderna enligt RSS.
    http://wattsupwiththat.com/2014/04/05/no-global-warming-for-17-years-8-months/

  31. thomas kaijser

    Hej Lennart ( och övriga som funderat på problem 2).
    Vill bara säga att problem 2 är ett specialfall av vad som i
    matematiken kallas “Fermats lilla sats” som säger att
    n**p-n är delbart med p för alla heltal n om p är primtal.
    (Se Wikipedia.)
    Bevisas lättast (tycker jag) med hj a binomialsatsen och induktion om man stöder sig
    på att binomialkoefficienten (p över k) är delbart med p om 2<= k <=p-1 då p primtal.
    Thomas K

  32. Mikael W.

    Titta Lennart Bengtsson får vara med och uttala sig i Dagens Industri. Otroligt! Skönt med lite vettiga människor i media.
    http://www.di.se/artiklar/2014/4/4/klimatforskaren-avfardar-skrackscenario/

  33. Johan M

    #28 pekke
    Håller med dig om att formuleringen inte är helt lätt att följa.
    Tanken är att de säljer n får och då får n rubel för varje får de säljer. Summan de har är alltså alltid en kvadrat n² dvs 1,4,9,16,25 …
    Sen sägs det att den första broder fick 10, den andra 10, den första 10 osv. Den yngre brodern är den som får de sista fåren så summan av får är k*20 + 10 + d där k >= 1 och 10 > d > 0 (i sista rundan får den äldste 10 och den yngre de överblivna d) .
    Nu är det bara att blanda in en fickkniv (som den äldre brodern ger!) så har man lösningen.

  34. Johan M

    Angående nyårsdagar på söndagar så skall man kanske säga att det är en öppen fråga. Den Gregorianska kalendern infördes först 1753 i Sverige och det efter en tid med oväxlande den Julianska och “Svenska” kalendern. Jag har inte räknat på det men, antalet nyårsdagar som har infallit på en söndag sedan 1500-talet i Spanien (1582), Sverige (1753) och Grekland (1925) är nog rätt olika.
    När World Calendar införs får vi lite ordning och reda 🙂

  35. Sten Kaijser

    Hej,
    mitt antagande är att om det finns n får från början så säljs det första för n rubel, nästa för n-1 o.s.v.
    Det gör att totalt får de in n(n+1)/2 rubel. Detta belopp bör ha ett udda antal 10-tal och ett jämnt ental.
    Vi har följden 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, …
    Det enda talet bland dessa som fungerar är 36 vilket skulle ge att om kniven är värd 2 rubel så blir det rättvist. (Jag kan tänka mig, men har inte orkat försöka att bevisa det, att alla sådana tal slutar med en 6:a).

  36. Här kommer ett annat bevis för nöt 2, att visa att n^11-n är delbart med 11 för alla värden på n>1 (Thomas Kaijser #31 påpekar att det helt enkelt är ett specialfall av Fermats lilla sats men denna lilla räknövning kanske ändå kan vara av intresse).
    Vi skall här använda följande tillämpning av binomialsatsen:
    http://sv.wikipedia.org/wiki/Binomialsatsen
    (a+b)^11=a^11+ 11*a^10*b+55*a^9*b^2+165*a^8*b^3+330*a^7*b^4+462*a^6*b^5+462*a^5*b^6+330*a^4*b^7+165*a^3*b^8+55*a^2*b^9+11*a*b^10+b^11
    Om vi nu skriver n=11*q+r där q är kvoten och r är resten så får vi
    n^11-n=(11*q+r)^11-(11*q+r)
    Om vi utvecklar den första termen med binomialsatsen enligt ovan så har vi a=11*q och b=r. Vi ser då att n^11-n blir en summa av termer där alla utom två med säkerhet innehåller faktorn 11 och därför är delbara med 11. Det två termerna som inte säkert innehåller faktorn 11 är r^11-r.
    Vi finner alltså att vi kan skriva på följande sätt där c är ett känt uttryck:
    n^11-n=11*c+r^11-r
    Alltså blir vänstra ledet delbart med 11 om r^11-r är delbart med 11 eller lika med noll. Men vi vet att r bara kan anta värdena r=0,1,2…10 vilket gäller för alla värden på n. Vi kan därför bevisa vår sats genom att helt enkelt visa att r^11-r är delbart med 11 för r=2,3…10. Detta kan man enkelt göra med hjälp av ett vanligt kalkylblad, till exempel Excel. Här följer beräknngsresultatet:
    r ; r^11-r ; (r^11-r)/11
    2 ; 2046 ; 186
    3 ; 177144 ; 16104
    4 ; 4194300 ; 381300
    5 ; 48828120 ; 4438920
    6 ; 362797050 ; 32981550
    7 ; 1977326736 ; 179756976
    8 ; 8589934584 ; 780903144
    9 ; 31381059600 ; 2852823600
    10 ; 99999999990 ; 9090909090
    Vi finner alltså att r^11-r är delbart med 11 för alla värden på n>1. Alltså är även n^11-n delbart med 11 för alla värden på n>1.
    VSB

  37. L

    Strålande artikel i DI tycker jag. Kom ihåg att väldigt många har en helt annan bild av situationen och då kan man inte avfärda dom som idioter om man ska få gehör. Med opportunisten Rockström i ena ringhörnan känns det bra att ha Lennart Bengtsson som sakkunnig i den andra och sakta men säkert sprida verklig kunskap i klimatfrågan.

  38. Mats G

    Tack för att du finns Lennart B!
    Det är inte lätta att gå mot strömmen.
    Roligt för mig personligen att jag tydligen tillhör problemlösare kategori 3 eftersom jag byggde en veckofunktion en gång i tiden.
    Tog iofs 3 mån att klura ut formeln. Den är inte hundra men den kommer hålla till 2060 eller nåt. Avrundningsproblem.

Lämna ett svar

E-postadressen publiceras inte. Obligatoriska fält är märkta *