1+2+3+4+5+6+7 …?

Här kommer det något helt klimatfritt, som ger töcken i hjärnvindlingarna, för att skingra intrycket att fukt och dimma därute.
Steven T. Corneliussen som brukar skriva mycket AGW-trogna inlägg i Physics Today har i gårdagens utgåva en kommentar till en YouTubefilm på ca 7 minuter, som allaredan  lär ha beskådats av >1.6 millioner tittare.
http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww
Detta inslag påstår sig bevisa den matematiska orimligheten:

“Two physicists explain: The sum of all positive integers equals −1/12

Their viral video introduces mathematics that laymen find preposterous, but physicists find useful.”
För mig är detta en nyhet, och jag är tillräckligt matematiskt uppfostrad för att påstå att resultatet är felaktigt. Däremot tydligen inte tillräckligt för att omedelbart kunna sätta tummen på den felaktiga punkten. Jag misstänker att man inte får göra vanlig algebra med divergenta serier på detta vis. Särskilt 1-1+1-1+1-1+… =0.5, tyckte jag verkade skum. Det kan dock ses som en geometrisk serie med kvoten -1, som onekligen ger summan 0.5. Därför kan jag inte ange något teorem som uttryckligen förbjuder detta. Det vore trevligt om någon läsare kan kommmentera och skriva något lugnande. Corneliussens kommentar att det skulle var OK för fysiker är direkt oroande. Det jag tror jag skulle kunna åstadkomma är ett alternativt resonemang som ger en helt annan summa? Det skulle därför åtminstone inte vara ett entydigt resultat.

Kommentarer

Kommentera längst ner på sidan.

  1. Matt Briggs has a good commentary on this 1+2+3+… = -1/12 ” debate here –
    http://wmbriggs.com/blog/?p=11072
    The punch line is –
    The path the gentlemen in the video took was not a straight line, which is how they arrived at -1/12 (See also these videos, particularly the third, for more on the path.). But if you were to go straight—the simple sum, i.e. “the limit”—you’d end up right where intuition suggests, at a whopping big number, unimaginably big. Why the difference? Mathematical truths, like all truths, are conditional on the premises assumed and those premises include the paths.
    Fascinating 🙂

  2. Thomas P

    Vad sägs om att läsa Vetenskap och folkbildnings blogg där frågan diskuterades för ett tag sedan 🙂
    http://forum.vof.se/viewtopic.php?f=36&t=21196
    Man kan få vilka orimliga resultat som helst om man summerar den där typen av serier.
    (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)… är uppenbarligen noll, medan
    1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)… lika uppenbart är 1, ändå är det samma serie. Sen kan man fortsätta därifrån och få vad som helst. Prova t ex med 1+1+1+1… och skriv om till (-1+2)+(-2+3)+(-3+4)… och stryk 2-2 osv. kvar blir 1+1+1+1=-1.
    Första kommentaren till det här inlägget är lite mer upplysande för varför man ändå kan säga att den där summan är -1/12 under vissa antaganden (typ att man kan ignorera oändligheten)
    http://www.quora.com/Mathematics/Theoretically-speaking-how-can-the-sum-of-all-positive-integers-be-1-12

  3. Mats G

    Urgh, oändligheten.
    Om det har använt det för att komma fram till strängteorin så har jag inga invändningar.
    Jag brukar köra med ett tankeexperiment.
    Vet ej om det håller.
    Om universum är oändligt så är antalet planeter med liv på oändligt.

  4. Thomas har förstås en poäng här. Men det är lite märkligt att VoF anser att detta förtjänar någon diskussion. absuridteterna kan göras/demonstreras ännu enklare:
    Vi kan kalla summan av alla 1:or för
    S = 1+ 1+1+1+1+1+1+ .. osv
    Och sådledes är :
    -S = -(1+ 1+1+1+1+1+1+ .. ) = -1-1-1-1-1-1-1-1- ..
    Och så kan vi lägga ihop S + (-S) för att få summan av dessa:
    S = 1+ 1+1+1+1+1+1+ .. plus
    -S= -1-1-1-1-1-1-1-1- ..
    och mha denna förskutning få fram att:
    0 = S-S= 4 (eller vilket annat heltal, positivt eller negativt, som helst beroende på vald förskjutning)
    Hela tricket är förskjutningen. Och det är allt där är ….

  5. Jag ser att min förskjutning (med 4 steg) redgerades bort av kommentarseditorn. Vad som skulle stå där kan lika gärna skrivas mha av en addition av 4 st nollor:
    +S = 1+ 1+1+1+1+1+1+ .. osv .. plus
    – S = 0+ 0+ 0+0-1-1-1-1-1-1-1-1- ..
    och mha denna förskutning få fram att:
    0 = S-S= 4 (eller vilket annat heltal, positivt eller negativt, som helst beroende på vald förskjutning)

  6. Det hela kommer från teorin för analytiska funktioner av komplexa variabler och den typ av oändliga serier som kan konvergera och vars summa definierar Riemanns zetafunktion genom så kallad ”analytisk fortsättning” (analytical continuation) ut i det komplexa talplanet:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
    Artikeln är oläslig om man inte har studerat teorin för komplexa variabler (jag läste själv Ruel V. Churchills “Complex Variables and Applications”, International Student Edition, McGraw Hill, 1960, som doktorandkurs en gång i tiden). Men om serien av naturliga tal står det att den är divergent, dvs. dess summa går mot oändligheten, men med hjälp av Riemanns zetafunktion kan man tilldela den värdet -1/12 eftersom denna serie motsvarar s-värdet lika med -1 för den aktuella typen av serier:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function#Specific_values
    Så det är inte summan av de naturliga talen som är -1/12 utan det är Riemanns zetafunktion som har detta värde för det värde på s som motsvarar summan av alla naturliga tal.
    I Churchills bok finns ett enklare exempel på sid 263 som kan illustrera motsvarande sak, nämligen för oändliga geometriska serier i det komplexa talplanet (i samband med Riemanns zetafunktion betecknar man av tradition en komplex variabel med s, i vanliga fall brukar man i stället använda z för detta ändamål, vilket jag nu övergår till):
    S(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 … = F(z) = 1/(1-z)
    Serien S(z) konvergerar om |z|<1 med summan lika med F(z) = 1/(1-z). Till exempel för z=1/2 får vi att
    S(1/2) = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 … = F(z) = 1/1-1/2) = 2
    Men F(z) = 1/(1-z) är en analytisk funktion i den komplexa variabeln z som är definierad i hela det komplexa talplanet utom z=1. Samtidigt är F(z) identisk med S(z) i den del av det komplexa talplanet där serien S(z) konvergerar. Detta utrycker man så att F(z) är ”den analytiska fortsättningen” av S(z) ut i hela det komplexa talplanet utom för z=1.
    Symboliskt, men tveksamt, skulle man då för z=2 kunna skriva, analogt med summan av alla naturliga tal:
    S(2) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 … = F(2) = 1/(1-2) = -1
    Men precis som med summan av naturliga tal så konvergerar inte serien så det finns egentligen ingen sådan summa utan denna går mot oändligheten. Att summan skulle bli -1 är lika häpnadsväckande som att summan av alla naturliga tal skulle bli -1/12.
    Men precis motsvarande det som står i Wikipediaartikeln om Riemanns zetafunktion så är det enda vi egentligen gör att vi formellt tilldelar denna serie värdet -1. Detta gör vi därför att dess analytiska fortsättning F(z) antar detta värde när z=2, vilket motsvarar just denna serie.
    Summan av den geometriska serien S(2) tilldelas alltså symboliskt värdet -1 därför att F(z), motsvarande analytiska fortsättning, har detta värde för z=2. Summan av de naturliga talen tilldelas på motsvarande sätt symboliskt värdet -1/12 därför att Riemanns zetafunktion, motsvarande analytiska fortsättning, har detta värde för s=-1, vilket motsvarar summan av de naturliga talen.

  7. Gunnar Strandell

    Jonas N #5
    Din uppställning med ettor och nollor har anknytning till klimatvetenskapen, där det ju visat sig att modellerna ger olika resultat beroende på vilken dator de körs på. Jag gissar att det beror på olika ordlängd för att representera tal och att skillnaden mot ditt exempel är att nollorna dyker upp genom trunkering i slutet för den dator som har den kortaste.
    Jag har alltid känt mig tryggast med IBM:s stora maskiner för de har haft kravet på sig att räkna rätt på USA:s statsbudget ned till minsta cent.

  8. Stickan no1

    Ibland är 1+1 = 2
    “Mer förnybart kan kräva dyrare el”
    http://www.svt.se/nyheter/sverige/mer-fornybart-kan-krava-dyrare-el

  9. Adolf Goreing

    Vi vet att i^2=-1.
    Dvs
    -1=√i^4=√(i^2×i^2)= √(-1×-1)= √1=1
    Alltså är -1=1 QED
    Dessler et al. se hit, det kan säkert vara användbart

  10. John Silver

    Om man blandar ihop “is” och “assume” så blir det så här.

  11. Johan M

    Att man blir lurad är nog för att man blandar ihop sin intuition av vad addition är med de antagande som man gör för “summan” av talserier. Om z är funktionen som ger “summan” av en talserie, och vi säger att:
    z(1-1+1-1+1…..) = 1/2
    så är väl det ok. Men sen tar vi för givet att z(s1+s2) = z(s1) + z(s2) . Det är här man tar ut svängarna lite. Det är ju naturligt för ändliga serier men stämmer inte nödvändigtvis för oändliga serier. Man kan ju dela upp serien 1-1+1-1+-1… i två oandliga serier som ser identiska ut. Vi vet att z av serien är 1/2 men helt plötsligt så är den även 1.
    1/2 = z(1-1+1-1…) = z(1-1+1-1…) + z(1-1+1-1…) = 1/2 + 1/2 = 1

  12. Jag inser nu att det är ännu enklare att visa i stort sett vad som helst:
    Ta summan S = 1+1+1+1+1+1+1 … och lägg sedan till fyra ettor:
    S = 1+1+1+1 + (1+1+1+1+1+1+ … ) = 4 + S
    Det enda man visar är att oändligheten minus 4 (eller vilket tal som helst) fortfarande är oändligheten.

  13. CecilB

    Så vitt jag vet finns oändliga tal definierade, om man youtubar eller letar/tittar någon annan stans som tar upp ämnet. Vissa tror på dem en del säger motsatsen.
    Frågan är om oändligheten som vi i vardagligt tal pratar om ens existerar ännu.
    -Men man kan ju alltid lägga till +1!
    -Nej, då tar talen slut!
    ???

  14. Guy

    Hmmm… Ettan är kanske inte världen bästa tal att leka med. Den uppför sig inte som andra tal.

  15. Mats G

    Märker att ingen nappa på mitt lilla tankeexperiment. Förståeligt för den är en hjärnskrynklare.
    Alla fall för mig.
    Vad jag förstå så har man räknat ut massan i universum och det innebär att den är ändlig.(hoppas jag är up tp date med den.) Man har ju börja hitta lite mörk materia. Vad det innebär har jag inte klart för mig än. Men jag utgår ifrån att materian fortfarande är ändlig. bara lite mer.
    Och det går inte ihop med mitt påstående. Men eftersom ingen har opponerat sig så så verkar det hålla att påståendet är logiskt.
    Och, mina damer och herrar.
    Det är här brödskive-modellen kommer in(den har jag inte hitta på själv naturligtvis)
    Som både förklarar bigbang och varför gravitation är en svag kraft i jämförelse och varför materian i universum är ändligt.
    Bra jobbat. tyvärr lär det aldrig gå att bevisa den. eller man skall aldrig säga aldrig.

  16. Mattias

    Halloj!
    Mitt tips lyder som följer.
    1. S1 blir inte 1/2. Det är inte en konvergent summa vilket innebär att det inte kan ersättas av ett värde.
    2. När man adderar två serier och förskjuter den ena får man en restterm. Detta tas det inte hänsyn till i filmen.
    Det är helt enkelt ett skämt, eller falsarium om man så vill.