Covid och ris på ett bräde

Här kommer en liten uppdatering på inlägget i föra veckan där jag pekade på att utveckling kanske inte var så alarmerande som man lätt tror om man bar läser rubrikerna i media. Det jag tittade på var utveckling för antalet intagna patienter i Region Stockholm och såg där en avtagande ökningstakt. Detta såg jag som signalen att vi faktiskt började se kulmen på antalet intagna patienter och att sjukvården förhoppningsvis skulle klara anstormningen. Idag har vi ytterligare en veckas siffror och utveckling ser faktiskt bättre ut än vad jag trodde. Innan vi tittar på dess så skall vi dock ta oss en titt på ett bräde och vad vi menar med exponentiell ökning.

allt på ett bräde

Om man googlar på “corona exponentiell ökning” så får man drygt tjugotusen träffar. Alla vet vad exponentiell ökning innebär: 2, 4, 8, 16 ….. hela världen, om detta beskriver pandemins utbredning förstår varje människa att allt kommer braka rakt in en bergvägg inom bara några veckor. Det klassiska exemplet när man vill förklara vad en exponentiell ökning innebär är historien om mannen som sålde schackspelet till kejsaren. Som belöning ville han ha ett riskorn för första rutan, två för andra, fyra för tredje och så vidare. Kejsaren gjorde ett snabbt överslag i huvudet och gick genast med på denna modesta önskan. Det visar sig naturligtvis att man redan på tredje radens första ruta får lägga ett ton och man är snart är uppe i hela jordens årsproduktion. Efter ytterligare några rutor mer ris än vad som någonsin har producerats i världshistorien. Denna sedelärande historia gör att att vi med rätta ryggar tillbaks när vi hör termen exponentiell ökning.

chess

Det finns dock en annan historia där samme man några år senare skulle sälja fia med knuff till kejsaren. Mannen (som hade nöjt sig med hundratusen guldmynt och att behålla sitt huvud) kunde inte lura kejsaren en gång till så han försökte inga trick utan var villig att sälja spelet för tusen guldmynt. Kejsaren var dock så glad över spelet att han gladeligen erbjöd ett bättre pris:

Du får ett riskorn för första rutan, 1.97 för andra, det antalet multiplicerat med 1.94 för tredje, det antalet multiplicerat med 1.91 för fjärde och så vidare.

Hmm, tänkte mannen: 1, 1.97, 3.8, 7.3, 13.7, 23.4 ….. inte riktigt lika bra som 1, 2, 4, 8, 16, 32 men jag vet ju vad som händer när det tar fart. Mannen accepterade gladeligen erbjudandet …. och gick därifrån med 133 kg ris.

rice
En exponentiell ökning jämfört med fia med knuff.

Varför denna utläggning om prisförhandlingar vid spelförsäljning kan man undra men poängen är att ett virus inte sprider sig exponentiellt som vid försäljning av schackbräden, det liknar mer förloppet vid försäljning av fia med knuff. Initialt så liknar dessa kurvor varandra och det är hårklyveri att orda om hur utvecklingen ser ut. I grafen ovan så har jag lagt in en exponentiell ökning med bas 1.55 dvs istället för fördubbling för varje ruta så får vi 1.55 gånger föregående ruta. Fram till ruta 26 så är det inte så mycket att orda om men sen ser vi hur den exponentiella drar iväg.

vi sprider ett virus

I spridningen av ett virus så finns det naturligtvis ett inslag av exponentiell ökning. En smittad person smittar två andra som i sin tur smittar två andra osv. Saken är dock att ökningstakten  inte är konstant. Den andra personen som får smittan har åtminstone en person i sin omgivning som redan har varit smittad (och förhoppningsvis tillfrisknad och immun) så sannolikheten att denne person smittar lika många är lite mindre. Den ökning vi får är naturligtvis beroende av hur många som är smittade men den beror också på hur många som inte är smittade och den siffran sjunker.

Det andra som påverkar spridningen är vårt sociala avstånd och hur mycket vi blandar oss med andra och att vi tvättar händerna. Har vi större avstånd och tvättar våra händer så sprider sig smittan naturligtvis långsammare och om vi begränsar våra resor så kan en regioner klara sig undan ett bra tag innan smittan hittar dit.  Det tredje som påverkar spridningen är själva sjukdomsförloppet och hur länge man är smittspridare mm.

När man sätter upp en modell för detta kan man dela in en population i grupper: icke smittade, smittade, återhämtade (eller i värsta fall döda). Man kan ha fler grupper och dela in populationen i regioner. Det man gör sen är att göra uppskattningar på alla de okända parametrar man har (och i fallet med ett nytt virus så är det många), kör en simulering och kommer fram med en tidslinje som säger hur många smittade vi kan tänkas inom den närmaste tiden. Det visar sig att man får någonting som liknar kurvan för fia med knuff ovan, i matematiska termer pratar vi om en logistisk utveckling.

Stockholm i mitt hjärta

Jag har inte gjort några modellkörningar, inte för att modellen är särskilt svår att simulera utan för att det är för många okända parametrar att gissa. De som gör dessa simuleringar har naturligtvis mycket mer data till sitt förfogande, jämförelsematerial från andra epidemier och expertkunskap som jag saknar. Jag har heller inte försökt uppskatta hur många som är smittade i regionen eftersom det nog är den siffra som är svårast att uppskatta och kanske inte det vi egentligen vill veta.

Det vi vill veta är om sjukvården kommer att kunna hantera trycket från alla svårt sjuka. För att uppskatta detta så är det naturligtvis bra att veta hur många som redan har smittats men vi kan också titta på utvecklingen av antalet inlagda patienter*. Den utvecklingen kommer också vara logistisk och det gäller bara att kunna uppskatta hur hög toppen är.

Till en början är det väldigt svårt att se vart åt det barkar eftersom antalet fall är få och skillnaden från dag till dag varierar mycket. Efter ett tag när patientgruppen, och antalet smittade i samhället, är tillräckligt representativt så kan vi dock se hur den logistiska utveckling ser ut. Vi vet att ökningstakten kommer att vara mycket hög till att börja med men sedan sakta ner tills den dag då antalet inlagda börjar sjunka.

sthlm-inlagda-18
Fram till söndag 5/4: linjär, exponentiell eller logistisk ökning?

Om vi tittar på kurvan ovan så ser den vid första anblicken inte så munter ut. Man kan enkelt dra ett rakt streck igenom punkterna och landa på flera tusen patienter om någon månad. Om vi vet vad vi letar efter så ser det däremot betydligt bättre ut – det vi är intresserade av är ökningstakten och hur den förändras.

sthlm-ökning-18

Grafen ovan visare medelvärdet på den dagliga ökning de senaste tre dagarna. Det vi ser är vad vi kan förvänta oss, initialt en mycket hög ökningstakt men varefter tiden går så minskar ökningstakten. Vi befinner oss nära den punkt då vi passerar 1.0 vilket betyder att vi har nått toppen på kurvan över antalet intagna i vården.

Förra veckan pekade jag på att vi redan då var nere i en ökningstakt på 1.1 och hoppades att vi inom en vecka skulle komma ner mot 1.07 eller 1.05 – vi ligger idag betydligt lägre än så. Vi kommer kanske redan vid slutet av denna vecka ha passerat kulmen och kommer sen se hur kurvan sakta vänder nedåt.

Kurvan för antalet IVA-patienter har en eftersläpning och kommer inte vända ner på samma gång, de som nu ligger på intensivvård las säkert in för någon vecka sedan. Dock så kan vi bättre förutse hur stort behovet kommer vara framöver och skaffa de resurser som behövs i tid. De som har tillgång till all data kommer nog kunna göra mycket bra bedömningar av utveckling.

skall vi öppna Champagnen

Nej – öppna inte Champagnen och bjud inte in hela släkten för att fira segern. Den låga ökningstakten vi har beror till stor del på de åtgärder vi har vidtagit. Om vi i morgon går tillbaks till att krama alla vi ser på stan så kommer vi förändra spridningstakten och vi kommer sannolikt får en högre topp om någon vecka.

Att vi passerar krönet kommer inte heller att betyda att vi inte kommer ha fler dödsfall. De personer som dör idag blev säkert smittade för två veckor sedan och vi kommer se siffran för antalet döda stiga ett tag till. Att vi ser kulmen i Stockholm betyder inte heller att kulmen är nådd i övriga landet. Stockholm kanske ligger någon vecka före och det finns säkert regioner som ligger två veckor efter.

Vi kommer även under de närmaste två veckorna ha en mycket ansträngd sjukvård där vi ligger på gränsen av vad den kan klara av. Att vi passerat kulmen är en klen tröst för den som går på knäna och kan se fram emot lika mycket patienter även om tillströmningen nu är lika stor som antalet som kan skrivas ut.

Trots detta så är jag betydligt mer optimistisk idag än vad jag var för två veckor sedan då man verkligen famlade i mörkret över hur utveckling skulle se ut.

 

 

 

* Region Stockholm har från söndagen den 5/4 ändrat i de siffror de rapporterar, de inkluderar nu även patienter som vårdas på äldrevård men som har konstaterats smittade. Söndagens siffra är därför en uppskattning i överkant som skall överensstämma med övriga värden. Måndagens siffror visar att det totala antalet vårdade ökat marginellt, från 900 till 908 (IVA från 168 till 179).

Kommentarer

Kommentera längst ner på sidan.

  1. Håkan Bergman

    “Vi kommer kanske redan vid slutet av denna vecka ha passerat kulmen och kommer sen se hur kurvan sakta vänder nedåt.”
    Varför skulle den sakta vända neråt? Varför skulle den utplattade kurvan vara symmetrisk runt maxvärdet? Borde den inte ganska fort börja falla brant, jag utgår från att man inte aktivt försker hålla uppe smittspridningen?

    Det har skrivits om vilken hög standard sjukvården i norra Italien har, men hur ser det ut med volymen i jämförelse med oss i Norden, Italien och Spanien har runt 20000 $ lägre BNP per capita än Sverige och Finland och ännu större är skillnaden om man jämför med Norge och Danmark, och kan väl omöjligt ha så generösa regler som vi har. Vi ska kanske vara tacksamma för vår överkonsumtion av vård, vi ställer in alla vårtoperationer och vips har vi kapacitet för en pandemi.

  2. Johan Montelius

    #1 Håkan Bergman

    Vi får väl se hur kurvan ser ut, det är så många faktorer som påverkar utseendet. En orsak att vi nu ser en kulmen kanske mer beror på att vi har ändrat vårt beteende än att vi har uppnått så stor spridning. Det . förändrade ger förloppet en mer långsamt förlopp och vi kan då få en mer utdragen tillbakagång. Hade vi haft oförändrat beteende under hela tiden så hade kurvan varit symmetrisk.

    Nix – kurvan är osymmetrisk även vid konstant beteende.

  3. Håkan Johansson

    Borgmästaren i Miami, republikan, var en av de första som testades positiv för Covid 19 i Florida, Nu är han frisk, han bidrar nu med blodplasma och sina antikroppar till andra patienter. Det arbetas på många fronter.

  4. Johan,
    Bra beskrivning. Om man vill gå lite djupare kan man lyssna till prof. Tom Britton på Stockholms unitersitet.
    https://www.vetenskapenshus.se/202003/matematiken-bakom-coronautbrottet

  5. Lars-Eric Bjerke

    Den 5 april gissade Tom Bitton att
    – det är fler än 1 miljon smittade i Sverige
    – vid 30 % till 40 % smittade blir det partiell immunitet
    – i Stockholmsområdet är det inte otroligt att vi ligger på toppen de närmaste veckorna och att det därefter börjar gå ned. I vårdkedjan tror jag den värsta halvan blir i andra halvan av april och i maj. Takten börjar nog avta på nysmittade i maj i Stockholm, men hela befolkningen är svår att säga. I juni gissar jag att det börjar det klinga av ordentligt i hela landet, på grund av att många har smittats redan.
    https://www.expressen.se/nyheter/coronaviruset/experterna-det-sager-de-nya-siffrorna-om-sverige/

  6. Ulf

    Det är ingen tvekan om att medicinen blir mer skadlig än viruset. Fortfarande är dödsoffren i huvudsak över 90 år. Mot detta står ett ekonomiskt experiment som kan ödelägga en hel generations framtid. Politikernas panik när det verkligen gäller är förstås något som måste diskuteras i framtiden. Dessutom hade det här kunnat hanterats så oerhört mycket bättre genom en bättre isolering av riskgrupperna. Denna vansinnes nedstängning hade aldrig behövts.
    Nåväl i Sverige har det fungerat bättre eftersom politikerna släppt ansvaret och vi hade turen att det fortfarande fanns några rutinerade gubbar kvar på FHM. Lägg märke till att de varit borta ifall detta inträffat några år framåt i tiden.
    Däremot har vår ytterst inkompetenta regering fått ansvara för finanspolitiken själva. Detta har naturligtvis gått käpprätt åt skogen. Har vi någonsin sett en mer inkompetent regering? Sedan försöker man dessutom sätta demokratin ur spel. Något överraskad får man tacka en gammal kommunist som Sjöstedt för att detta sannolikt inte blir av. Lustigt att detta inte uppmärksammats mer här på dessa sidor. Jag menar kan man sätta demokratin ur spel för ett virus så går det säkert också för ett klimatnödläge var så säker.
    Men nu har världen spenderat 1000 tals och åter 1000 tals miljarder genom att krossa världsekonomin. Ett par 100 miljarder hade räckt spenderat på att isolera riskgrupperna och en kraftigt utbyggd sjukvård. Inkompetensen är helt enastående.
    Tittar man sedan på hela världsbefolkningen så lär ett antal miljoner i de fattigare länderna stryka med pga av svält orsakat av denna exempellösa onödiga kross av världekonomin. För övrigt bör Kina betala ett gigantiskt skadestånd till resten av världen.

  7. Eilif Hensvold

    Hej Ulf, här en 18 sidors ansats till analys med ett annat resultat.
    https://drive.google.com/file/d/1XebEbnGGhhjp3uyGwAbGZmnIMu3WfXb5/view

  8. Johan Montelius

    #4 Lars-Eric Bjerke

    Tack,

    här är två andra som gör ett bra jobb.

    3Blue1Brown är en mästare på att animera matematik:

    https://www.youtube.com/watch?v=Kas0tIxDvrg
    https://www.youtube.com/watch?v=gxAaO2rsdIs&t=487s

    Denna presentation av Numberphile visar bra vad som händer när vi ändrar parametrarna i en SIR-modulering:

    https://www.youtube.com/watch?v=k6nLfCbAzgo&t=665s

  9. Lasse

    Tack Johan M
    Det är Ro som beskriver en utveckling av spridningen.
    En faktor som är beroende av mycket, bla virusets smittsamhet och vårt umgänge med andra.
    Hade siffrorna varit att lita på så kunde vi följa utvecklingen direkt via alla rapporter.
    Tack för denna nya sifferserie.

  10. Michael E

    I dagens SvD finns något att glädjas åt. Enligt Nina Ekelund, hagainitiativet saknar 4 av 5 företag bra klimatplaner. Ännu bättre hade förstås varit om 5 av 5 hade saknat klimatplaner överhuvud taget. På frågan om hon ser optimistiskt på om vi kommer att nå klimatmålen svarar hon att hon var det innan Coronakrisen men undviker att utveckla det vidare. En sak som Coronan faktiskt visar oss är de konsekvenser ett nedstängt samhälle får i form av massarbetslöshet och ökad fattigdom. Även om jag önskar att vi aldrig fått uppleva detta så kommer det att bli svårare för klimataktivister att övertyga allmänheten och företagen om det sunda i att jaga klimatmål som allvarligt påverkar företagens möjligheter att agera på marknaden. https://www.svd.se/ny-rapport-1-av-5-foretag-saknar-bra-klimatplaner (Observera att i länken står det 1 av 5 företag saknar bra klimatplaner, kan det vara en överoptimistisk klimatarbetare på SvD som sätter länktexten??)

  11. Daniel Wiklund

    OT. Nu larmar text-tv igen “Sverige värms upp dubbelt så snabbt”. I synnerhet Jokkmokk, där genomsnittstemperaturen “ökat med hela 2 grader”. Vilken katastrof för dom som bor i Jokkmokk, hela två grader. Undergången är ära. Coronaviruset kan slänga sig i väggen. Jag hade inte tackat nej till lite mer värme här i Luleå.

  12. Kaj Wahlberg

    Angående inlägg 10. Jag hoppas dock att dessa försumliga företag har bra och fungerande jämställdhetsplaner och att de är genuscertifierade. Skämt åsido, en debatt som bör komma upp är vilka som är ansvariga för vår bristande beredskap angående sjukvårdsmateriel mm. På 90-talet hade vi fortfarande ett fungerande civilförsvar. Det fanns förråd runt om i landet av sjukvårdsmateriel, skyddsmasker för hela befolkningen, bensin och livsmedel mm. Idag finns inget av detta kvar, allt är skrotat. Skyldiga är de politiker från både Alliansen och Socialdemokraterna som trodde att vi en globaliserad värld bara behövde beställa det vi behövde. Inte en tanke på att en kris skulle kunna ändra på allt detta. I Finland däremot har man kvar sina beredskapslager av förnödenheter. Man har t ex livsmedel för hela befolkningen för några veckor. De politiker som beslutade om denna brottsliga låt gå-politik borde ställas till ansvar. Jag hoppas verkligen detta kommer att diskuteras innan nästa riksdagsval.

  13. Johan Montelius

    #10 Michael

    “Ännu bättre hade förstås varit om 5 av 5 hade saknat klimatplaner överhuvud tåget.”

    🙂 🙂 🙂

  14. Elof

    Flockimmunitet bestäms av virusets R0 värde (hur snabbt det sprider sig utan immuna och utan åtgärder). Gränsen beräknas med den enkla kalkylen R0-1/R0. Med ett R0 på cirka 3 ger det således 67%. Dvs. det fortsätter sprida sig tills 67% är immuna (genom att ha fått viruset eller genom vaccin). R0 kanske är något lägre eller högre men man ser att en väldigt stor andel av befolkningen måste vara immuna för att smittan skall upphöra. Med olika medel kan man minska spridningstakten men så länge men inte kan utrota viruset helt kommer det fortsätta spridas när man lättar på åtgärder tills 67% är immuna. Att då anta att “det värsta är över” när det troligen är max en procent som är smittade är inte vetenskapligt.

  15. Johan Montelius

    #14 Elof

    Vad påverkar R0?

  16. Tack Johan för ett fantastiskt bra och informativt inlägg.

  17. Elof

    Re. #15
    Vad jag förstår så “bestäms” R0 av två faktorer, dels virusets egenskaper (hur det smittar) och dels populationens egenskaper (rörlighet, närhet till andra, hur tätt man bor etc.). Om vi antar att virusets egenskaper inte ändras (vilket det gör men vi kan inte påverka det) så måste populationens egenskaper ändras permanent för att påverka vid vilken andel av befolkningen som flockimmunitet uppnås.

  18. Johan Montelius

    #17 Elof

    R0 är som du säger beroende av virusets egenskaper men även hur vi beter oss. Med ökad handtvätt och drastiskt minskat antalet kontakter har vi fått ner R0 till en betydligt lägre siffra. En siffra som är så pass låg att sjukvården inte kommer att bli överbelastad. Efter ett tag kommer fler och fler att bli smittade och vi kan gradvis acceptera ett högre R0 beteende. Det finns ingenting som pekar på att vi skall skruva åt tumskruvarna ytterligare (förutom på ålderdomshemmen).

    Jag vill inte ropa “faran över” och hoppades att jag förmedlade detta i paragraferna under “skall vi öppna Champagnen”.

    Hur många som är eller har varit smittade i Stockholmsområdet är kanske något vi får besked på i dagarna. FHM genomförde en randomiserad studie där något tusentals personer testades för corona (inte om de varit smittade och nu hade antikroppar utan om de var smittade). Denna studie bör publiceras i dagarna och ge ett bättre besked på hur många som kan tänkas ha haft sjukdomen. Jag tror att den siffran kommer vara betydligt över en procent.

  19. Ulf

    Stockholm har över 40.000 vårdanställda och ändå går personalen på knäna för några hundra covid 19 patienter. Är det någon som förstår hur detta hänger ihop?